Das Horner-Schema ist einRechenverfahren, mit dem du ein Polynom vereinfachen kannst - ähnlich wie bei der Polynomdivision, aber etwas kompakter und übersichtlicher. Es hilft dir, Polynome zu vereinfachen und gezielt Linearfaktoren abzuspalten - und das ohne schriftliche Division! Gerade wenn du auf der Suche nach Nullstellen bist oder das Verhalten einer Funktion im Unendlichen verstehen möchtest, ist das Horner-Schema eine echte Abkürzung. Es spart dir viel Rechenaufwand - vor allem im Vergleich zur klassischen Polynomdivision.
Dieses Verfahren, welches einen bedeutenden Platz in den Lehrbüchern der Algebra einnahm, ermöglicht die vorteilhafte Berechnung von Funktionswerten ganzrationaler Funktionen. Das Horner-Schema ist ein cleveres Verfahren, das dir hilft, Polynome schnell und einfach zu vereinfachen. In der Schule wirst du das Horner-Schema besonders oft einsetzen, wenn du Funktionen vereinfachen oder gebrochen rationale Terme untersuchen willst.
Historischer Hintergrund
Das Horner-Schema geht auf den Mathematiker William George Horner zurück, der es im 19. Jahrhundert entwickelte. Seine Idee war es, das Rechnen mit Polynomen effizienter zu gestalten - und genau das ist ihm gelungen.
WILLIAM GEORGE HORNER wurde im Jahre 1786 (das genaue Geburtsdatum ist nicht bekannt) im englischen Bristol geboren und verstarb am 22. September 1837 in Bath, England. Seine Ausbildung erhielt er an der dortigen Kingswood School. Bereits im Alter von 14 Jahren soll HORNER als Hilfslehrer an dieser Schule gearbeitet haben, um vier Jahre später deren Rektor zu werden. Im Jahre 1809 verließ er Bristol und gründete seine eigene Schule in Bath.
HORNERS (einziger) Beitrag zur Mathematik besteht in der Entwicklung eines Verfahrens zur Berechnung von Werten eines Polynoms (einer ganzrationalen Funktion).
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Obwohl das Verfahren nach ihm benannt ist, waren weder HORNER noch RUFFINI die eigentlichen Entdecker des dem hornerschen Schema zugrunde liegenden Verfahrens: Bereits 500 Jahre früher ist es in China von CHU SHIH-CHIEH (auch ZHU SHI-JIE, etwa 1270 bis 1330) benutzt worden.
AUGUSTUS DE MORGAN (1806 bis 1871), beschrieb das hornersche Schema in vielen Artikeln und gab ihm wohl letztlich auch seinen Namen.
Grundlagen des Horner-Schemas
Das Horner-Schema basiert auf einer geschickten Ausklammerung, die es erlaubt, ein Polynom effizienter zu berechnen.
Das Horner-Schema hilft dir dabei, ein Polynom durch einen Linearfaktor zu teilen - also durch einen Ausdruck wie „x + 1“. Im Gegensatz zur Polynomdivision brauchst du hier weniger Platz und kannst oft schneller ans Ziel kommen. Besonders praktisch ist das Horner-Schema auch, wenn du einen Term umformen willst, um damit weiterzurechnen - zum Beispiel bei der Bestimmung von Asymptoten oder beim Lösen von Gleichungen.
Die algebraische Darstellung
Ein Polynom P(x) lässt sich allgemein darstellen als:
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P ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + … + a 1 x + a 0
Das Hornerverfahren nutzt die folgende äquivalente Darstellung durch Ausklammerung:
P ( x ) = a 0 + x ( a 1 + x ( a 2 + … + x ( a n − 2 + x ( a n − 1 + x a n ) ) … )
Anwendungsbereiche des Horner-Schemas
Das Horner-Schema ist ein vielseitiges Werkzeug mit verschiedenen Anwendungsbereichen:
- Berechnung von Funktionswerten: Eine effiziente Methode, um den Wert eines Polynoms an einer bestimmten Stelle x zu bestimmen.
- Nullstellenbestimmung: Hilfreich, um Nullstellen von Polynomen zu finden, insbesondere in Kombination mit anderen Verfahren wie der Polynomdivision.
- Polynomdivision: Eine Alternative zur klassischen Polynomdivision, um ein Polynom durch einen Linearfaktor zu teilen.
- Bestimmung von Asymptoten: In einigen Fällen kann das Horner-Schema verwendet werden, um die Asymptote einer gebrochenrationalen Funktion zu bestimmen.
Anwendung des Horner-Schemas
Am schnellsten verstehst du das Verfahren durch ein Beispiel. Die Tabelle hat immer drei Zeilen. Die Anzahl der Spalten erhältst du, indem du den Grad des Polynoms nimmst und 2 addierst. Da wir es mit einem Polynom zweiten Grades zu tun haben (), benötigen wir also 4 Spalten. Das Feld der ersten Zeile und ersten Spalte bleibt immer leer. Die erste Zeile (beginnend bei der zweiten Spalte) füllst du nacheinander mit den Koeffizienten des ersten Polynoms aus. In die erste Spalte der zweiten Zeile schreibst du die Zahl beim Divisor - also dem Polynom direkt links neben dem Gleichheitszeichen - mit geändertem Vorzeichen: Der Divisor lautet . Damit das Horner Schema funktioniert, müssen die Polynome geordnet sein. Diese multiplizierst du anschließend mit der aus der ersten Spalte und schreibst das Ergebnis in die zweite Zeile unter den zweiten Koeffizienten. Nun wiederholst du diesen Prozess der Multiplikation und Addition. Das heißt, du multiplizierst die -2 aus der dritten Zeile mit 5 und fügst das Ergebnis in die zweite Zeile der letzten Spalte ein. Da du als Dividend (also das erste Polynom) ein Polynom zweiten Grades hast, bist du bereits fast fertig. In der letzten Zeile stehen nun die Koeffizienten der Lösung. Du erhältst also . Das letzte Glied der Lösung entspricht dem Rest der Division. , bleibt dir überlassen. Du kommst mit beiden Verfahren zum selben Ergebnis.
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Schritt-für-Schritt-Anleitung
Das Horner-Schema ist ein Rechenverfahren, mit dem du ein Polynom vereinfachen kannst - ähnlich wie bei der Polynomdivision, aber etwas kompakter und übersichtlicher. In diesem Beitrag zeigen wir dir in einfachen Schritten, wie du das Horner-Schema anwendest und wo seine Grenzen liegen.
- Vorbereitung:
- Schreibe das Polynom in absteigender Reihenfolge der Exponenten auf.
- Ergänze fehlende Potenzen mit dem Koeffizienten 0 (Null).
- Bestimme die Stelle x, an der das Polynom ausgewertet werden soll (z.B. eine Nullstelle oder ein beliebiger Wert).
- Tabelle erstellen:
- Erstelle eine Tabelle mit drei Zeilen.
- Die Anzahl der Spalten entspricht dem Grad des Polynoms plus 2.
- Koeffizienten eintragen:
- In die erste Zeile schreibe die Koeffizienten des Polynoms (beginnend mit dem höchsten Exponenten).
- In die erste Spalte der zweiten Zeile schreibe die Stelle x, an der das Polynom ausgewertet werden soll.
- Berechnung durchführen:
- Übertrage den ersten Koeffizienten (von der ersten Zeile) in die dritte Zeile.
- Multipliziere diesen Wert mit der Stelle x (aus der zweiten Zeile).
- Schreibe das Ergebnis in die zweite Zeile unter den nächsten Koeffizienten.
- Addiere die beiden Zahlen in dieser Spalte (zweite und erste Zeile) und schreibe das Ergebnis in die dritte Zeile.
- Wiederhole die Schritte 4.2 bis 4.5 für alle Spalten.
- Ergebnis ablesen:
- Der Wert in der letzten Spalte der dritten Zeile ist der Funktionswert des Polynoms an der Stelle x.
- Die übrigen Werte in der dritten Zeile sind die Koeffizienten des reduzierten Polynoms (falls eine Polynomdivision durchgeführt wurde).
Beispiel für die Nullstellenberechnung mit Tabelle
Hast Du eine ganzrationale Funktion f(x) gegeben und sollst die Nullstellen x0 bestimmen, so stehen Dir mehrere Verfahren zur Verfügung. Welches Du nutzen kannst, hängt vom Grad n der Polynomfunktion f(x) ab. Ein mögliches Verfahren, das bei der Berechnung der Nullstellen x0 dieser Funktion f(x) angewandt werden kann, ist das Horner-Schema. Das Ziel des Schemas ist es, den Grad n der Funktion f(x) zu verringern.
Die allgemeine Vorgehensweise des Horner-Schemas wird zunächst für folgende ganzrationale Funktion f(x) 3. Grades erklärt.
fx=a3x3+a2x2+a1x+a0
Diese Funktion f(x) wird umgewandelt in eine Form, bei der eine Polynomfunktion von Grad 2 vorliegt. Dazu wird die Funktion f(x) durch einen Ausdruck (x-x0) geteilt. Dabei ist x0 eine Nullstelle der Funktion f(x). Es ist auch möglich, durch den Ausdruck (x-x0) zu teilen, wenn x0 keine Nullstelle ist.
fxx-x0=b2x2+b1x+b0
Schritt 1: Zunächst stellst Du eine Tabelle mit den jeweiligen Koeffizienten an der Funktion f(x) in absteigender Reihenfolge auf. Durch Ausprobieren wird außerdem eine Nullstelle x0 ermittelt, die Du in Zeile 2 schreiben kannst. Die dritte, zusätzliche Zeile bleibt zunächst frei. Für die allgemeine Funktion f(x)sieht dies wie folgt aus:
Fehlen in Deiner Funktion f(x) gewisse Potenzen, dann sind die entsprechenden Koeffizienten Null und müssen einbezogen werden.
Schritt 2: Der erste Koeffizient a3 wird nach unten gezogen in die dritte Zeile, dann mit der Nullstelle x0 multipliziert und der Ausdruck a3·x0 in die nächste Spalte in der zweiten Zeile übertragen.
Schritt 3: Der Koeffizient a2 wird wieder in die letzte Zeile übertragen, aber zudem noch der multiplizierte Ausdruck a3·x0addiert. Anschließend multipliziere diesen Ausdruck erneut mit der Nullstelle x0.
a3a2a1a0x0 ↓ a3·x0 ↓ a2+a3·x0·x0a3 ↗a2+a3·x0 ↗
Schritt 4: Auch mit den restlichen Koeffizienten a1 und a0 verfährst Du ebenso, bis die Tabelle komplett gefüllt ist.
a3 a2a1a0x0a3·x0a2+a3x0·x0a1+a2x0+a3x02·x0a3 ⏟b2a2+a3x0⏟ b1a1+a2x0+a3x02⏟ b0a0+a1x0+a2x02+a3x03⏟ fx0=0
Aus der letzten Zeile kannst Du dann die Koeffizienten b2, b1 und b0 der neuen reduzierten Polynomfunktion auslesen. Damit ergibt sich:
fxx-x0=a3x3+a2x2+a1x+a0x-x0=b2x2+b1x+b0
Schritt 5: Jetzt kann die reduzierte Polynomfunktion verwendet werden, um beispielsweise mit der Mitternachtsformel die restlichen Nullstellen x2 und x3 zu bestimmen.
Horner-Schema 3. Grades
Wenn es darum geht, Lösungen eines Polynoms zu finden, kannst Du dazu statt der Polynomdivision auch das Horner-Schema verwenden. Die allgemeine Vorgehensweise siehst Du jetzt direkt an einem Beispiel.
Beispielaufgabe 1
Von der folgenden ganzrationalen Funktion f(x) soll der Grad reduziert und die entsprechenden Nullstellen ermittelt werden. Eine Nullstelle bei x1=-1ist bereits vorgegeben.
f(x)=x3+2x2-5x-6
Lösung
Um den Grad zu reduzieren, wird die Funktion f(x) durch den Ausdruck (x-x1)geteilt. In diesem Fall entspricht dies:
f(x)(x-x1)=x3+2x2-5x-6(x+1)
Los geht es mit dem Horner-Schema!
Schritt 1: Lege Dir eine Tabelle mit den Koeffizienten der Funktion f(x) in absteigender Reihenfolge an. Die Koeffizienten in diesem Beispiel sind a3=1, a2=2, a1=-5, a0=-6.
In die erste Spalte der zweiten Zeile schreibst Du die vorgegebene Nullstelle. Hier:x1=-1.
Schritt 2: Ziehe den ersten Koeffizientena3=1 nach unten in die letzte Zeile, multipliziere mit der Nullstelle x1und übertrage das Ergebnis in die nächste Spalte. Dieses Ergebnis -1 wird mit dem Koeffizienten a2=2 addiert und in die letzte Zeile übertragen.
12-5-6x1=-1↓1·(-1)=-1 ↓+1 ↗2+(-1)=1
Schritt 3: Verfahre mit den restlichen Koeffizienten ebenso, bis die Tabelle vollständig gefüllt ist.
12-5-6x1=-11·(-1)=-11·(-1)=-1-6·(-1)=61 ⏟b22+(-1)=1 ⏟b1-5+(-1)=-6 ⏟b0-6+6=0
Aus der letzten Zeile kannst Du nun der Reihe nach die Koeffizienten des reduzierten Polynoms auslesen.
b2=1, b1=1, b0=-6
Daraus ergibt sich:
x3+2x2-5x-6(x+1)=x2+x-6
Schritt 4: Die Nullstellen des reduzierten Polynoms x2+x-6 können beispielsweise mithilfe der Mitternachtsformel ermittelt werden.
Zur Erinnerung: Mitternachtsformel: -b±b2-4·a·c2·a
Damit ergibt sich für die restlichen Nullstellen der Funktion f(x):
x2,3=-1±12-4·1·(-6)2·1x2=2 und x3=-3