Einführung
Im Laufe der Evolution hat sich der Zahlensinn entwickelt. Dieser ermöglicht es Menschen, aber auch Tieren, Mengen abzuschätzen. Dieser Artikel beleuchtet die Ursprünge dieses Sinns, die notwendigen Voraussetzungen zum Rechnen und die Rolle des Zählens im Tierreich, insbesondere im Kontext der Partnerfindung bei Fröschen. Im Fokus stehen die Forschungen von Andreas Nieder zum Zahlenverständnis bei verschiedenen Spezies.
Die Evolution des Zahlensinns
Viele Tiere haben dieses Gefühl für Zahlen - auch die, die kaum mit uns Menschen verwandt sind: Bienen zum Beispiel. Es wird angenommen, dass die Entwicklung eines Gefühls für Zahlen im Laufe der Evolution einen Überlebensvorteil für Tiere darstellte. Tiere, die Mengen schätzen konnten, hatten innerhalb ihrer Art einen Vorteil und gaben diese Fähigkeit an ihre Nachkommen weiter. Wer in der Lage ist, eine größere Menge an Futter auszuwählen, oder wer besser zur Paarung rufen kann, wird sich eher durchsetzen.
Beispiele aus dem Tierreich
Tiere können Mengen schätzen und sie verstehen, dass eine größere Zahl »mehr« bedeutet. Es gibt eine amerikanische Meisenart, die einen Alarmruf absetzt, wenn sich Angreifer in ihrer Nähe befinden. Je nachdem, wie gefährlich dieser Räuber ist, variieren sie die Notenanzahl in ihren Rufen. Ein ähnliches Verhalten zeigen Froschmännchen auf der Suche nach einer Partnerin: Denn je mehr Nachsilben sie in ihren Paarungsruf einbauen, desto höher ist ihre Chance, eine Partnerin zu finden. Präsentiert man Tieren eine unterschiedliche Menge an Nahrung, sind sie meist in der Lage, die größere zu wählen. Das hat unter anderem eine Studie mit Fröschen gezeigt, denen Mehlwürmer vorgesetzt wurden.
Forschungsmethoden und -objekte
Um diese Hypothesen zu überprüfen, werden kontrollierte Bedingungen im Labor bevorzugt. Krähen und Makaken werden trainiert, um zu testen, ob sie Mengen abschätzen können. Krähen, Makaken und Menschen sind allesamt sehr lernfähig und intelligent. Das ist wichtig, damit wir ihnen verschiedene Aufgaben beibringen können. Krähen haben einen fundamental anderen Gehirnaufbau als Menschen und Makaken, können aber dennoch mit Zahlen umgehen. Mich interessiert einerseits, wie unabhängig vom genauen Hirnaufbau Zahlen verarbeitet werden können. Andererseits hilft mir der Vergleich von Makaken und Menschen zu erforschen, was dem menschlichen Gehirn erlaubt, über das ursprüngliche und auch bei Tieren zu findende Mengenverständnis hinaus symbolische Anzahlen und Mathematik zu verarbeiten. Der Mensch ist nämlich die einzige der drei Spezies, die ein Symbolverständnis hat.
Präzises Zählen und Zahlensymbolverständnis
Einerseits brauchen wir ein Verständnis von Zahlensymbolen, um präzise zählen zu können. Andererseits deuten zahlreiche Evidenzen darauf hin, dass unser Zählsystem nicht ohne ein Verständnis für Quantität funktionieren würde. Wir können als kleines Kind nur zählen lernen, wenn wir wissen, was eine Menge ist. Und das wissen wir, weil wir - wie so viele Tiere auch - von Geburt an mit einem System ausgestattet sind, das Anzahlen abschätzen kann.
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Der Zahlensinn: Ein Schätzsystem
Grundsätzlich kann man sagen: Der Zahlensinn arbeitet immer ungefähr, er schätzt. Aber es gibt bestimmte Schätzungen, die besser funktionieren als andere. Das hat zum Beispiel mit dem Abstand der Zahlenwerte zu tun, zwischen denen unterschieden werden muss: Wenn Frösche zwischen drei und vier Würmern wählen müssen, ist ihre Entscheidung zufällig. Bei drei und sechs angebotenen Würmern aber entscheiden sie sich zuverlässig für sechs Würmer. Je größer die Anzahlen sind, die Tiere und Menschen unterscheiden müssen, desto schwerer fällt ihnen die Unterscheidung.
Subitizing: Simultanerfassung kleiner Mengen
Menschen können Mengen von 1 bis 4 extrem genau erfassen, ohne zu zählen. Dieses Phänomen nennt sich Subitizing - oder auf Deutsch: Simultanerfassung. Die Nervenzellen, die sich auf 1 bis 4 spezialisiert haben, antworten viel gezielter auf ihre Lieblingszahl als die Nervenzellen, die auf größere Zahlen reagieren. Eine Dreier-Nervenzelle antwortet nie, wenn sie zwei oder vier Punkte sieht. Die Zahlen von 1 bis 4 sind wichtig für uns Menschen, um richtig zählen zu lernen. Das wissen wir aus der Entwicklungspsychologie. Wenn wir einmal verstanden haben, wie diese kleinen symbolischen Zahlen funktionieren, können wir alle nachfolgenden Zahlen verstehen.
Neuronale Grundlagen der Zahlenverarbeitung
Nervenzellen generieren elektrische Impulse, sogenannte Aktionspotenziale, um Informationen zu übertragen. Das sind schnelle, kleine Spannungsänderungen in der Zellmembran, die sich über die Länge der Nervenzelle hinweg fortsetzen. Es gibt Nervenzellen, die bei bestimmten Zahlen sehr viele Aktionspotenziale generieren. Diese Nervenzellen haben sozusagen eine Lieblingszahl, bei der sie maximal stark antworten. Wenn ein Tier also fünf Punkte erfassen muss, antwortet die Fünfer-Nervenzelle. Doch auch bei sechs oder vier Punkten würde die Fünfer-Nervenzelle noch ansprechen. Das erklärt, weshalb der Zahlensinn nur ein ungefähres Schätzsystem ist.
Die Rolle der Null im Gehirn
Die Entdeckung der Zahl Null gilt als eine der größten kulturellen Errungenschaften des Menschen. Hirnforscher der Universität Tübingen unter der Leitung von Professor Andreas Nieder vom Institut für Neurobiologie geben erstmals Antworten auf die Frage, wie und wo Nervenzellen im Gehirn leere Mengen als Teil des Zahlenstrahls abbilden können. Die Wissenschaftler trainierten zu diesem Zweck Rhesusaffen, die Anzahl von null bis vier Punkten auf einem Bildschirm zu ermitteln. Während die Rhesusaffen diese Aufgaben durchführten, wurde die Aktivität ihrer Nervenzellen in zwei Bereichen des Gehirns gemessen, dem Scheitellappen und dem nachgeschalteten Stirnlappen. Im Scheitellappen registrierten die Nervenzellen die Abwesenheit von zählbaren Punkten noch als fehlenden visuellen Reiz ohne quantitative Bedeutung und damit grundsätzlich verschieden von Anzahlen. Auf der nachfolgenden höchsten Verarbeitungsebene hingegen, dem Stirnlappen, behandelten die Nervenzellen die Abwesenheit von Elementen als leere Menge unter anderen zählbaren Mengen, mit der größten Ähnlichkeit zur Anzahl eins.
Unterschiedliche Verarbeitung von Null und leerer Menge
Laut Fachleuten um Florian Mormann vom Universitätsklinikum Bonn und Andreas Nieder von der Universität Tübingen verarbeitet das Gehirn diese mit unterschiedlichen Neuronen für die Ziffer »0« einerseits und andererseits für die leere Menge, die sie repräsentiert. Hier sahen sie Nervenzellen, die spezifisch auf die leere Menge reagierten, und weitere, die bei der Ziffer Null aktiv wurden. Die beiden Konzepte werden im Gehirn also offensichtlich unterschiedlich verarbeitet. Zugleich aktivierten leere Mengen und die Ziffer Null zu einem geringeren Ausmaß auch Neurone, die auf die Ziffer Eins reagierten. Dieser »Abstandseffekt« lässt sich bei anderen Zahlen und ihren Nachbarn ebenfalls nachweisen. Das Denkorgan versteht die Null also nicht als eigenständige Kategorie von »nichts«. Vielmehr bettet es sie als Zahlenwert in der neuronalen Repräsentation des Zahlenstrahls am unteren Ende ein. Zugleich codiert es eine leere Menge auf eine andere Weise als die Punktmengen von eins bis neun. »Dies könnte erklären, warum das Erkennen der leeren Menge mehr Zeit in Anspruch nimmt als von anderen kleinen Mengen«, spekuliert Mormann.
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Subitizing: Kleine Mengen schnell erfassen
Wenn vor uns zwei, drei oder vier Äpfel liegen, erkennen wir ihre Anzahl sehr rasch. Sind es dagegen fünf oder mehr, benötigen wir deutlich länger und liegen häufiger daneben. Tatsächlich erfasst das Gehirn kleine Mengen wohl anders als große. Wir Menschen zeigen bei der Verarbeitung von Mengen eine charakteristische Zweiteilung: Kleine Anzahlen erfassen wir sehr rasch und in der Regel korrekt. In der Forschung spricht man auch von „Subitizing“.
Neuronale Mechanismen des Subitizing
Schon vor einigen Jahren konnten die beteiligten Arbeitsgruppen zeigen, dass es im Gehirn Nervenzellen gibt, die für bestimmte Anzahlen zuständig sind. Manche Neurone feuern zum Beispiel vor allem bei Zweiermengen, andere bei Vierermengen und wieder andere bei Mengen von sieben Elementen. „Die Neuronen sprechen allerdings auch auf leicht abweichende Anzahlen an“, erklärt Prof. Dr. Andreas Nieder von der Universität Tübingen, neben Mormann einer der beiden Hauptautoren der Studie. „Eine Siebener-Hirnzelle feuerte also auch bei sechs oder acht Elementen, dann aber schwächer. Interessanterweise scheint sich der Effekt beim Menschen aber nur bei höheren Anzahlen auszuwirken. Wenn etwa eine Dreier-Hirnzelle feuert, hemmt sie dadurch gleichzeitig die Zweier- und Vierer-Hirnzellen. Das senkt das Risiko, dass diese Zellen durch eine Dreiermenge fälschlicherweise miterregt werden. Bei Fünfer-, Sechser- oder Achter-Neuronen gibt es diesen Mechanismus dagegen nicht.
Experimentelle Studien zum Subitizing
Dabei saßen die Versuchspersonen vor einem Computerbildschirm. Darauf erschien für eine halbe Sekunde eine unterschiedlich große Menge von Punkten. Danach mussten die Teilnehmerinnen und Teilnehmer angeben, ob die Anzahl gerade oder ungerade gewesen war. Das gelang ihnen bis zu Mengen von vier Punkten sehr rasch und nahezu fehlerfrei.
Angeborenes Mengenverständnis und mathematische Fähigkeiten
Die exakten Mechanismen und neuronalen Netzwerke, die das Gehirn beim Lösen von Rechenaufgaben nutzt, sind noch nicht erforscht. Was wir aber wissen, ist, dass das menschliche Gehirn - und vermutlich auch das von einigen Tieren - einen natürlichen Mengenbegriff hat. Das wissen wir etwa von indigenen Völkern im Amazonas, die keinen Zahlenbegriff haben, aber dennoch Mengen addieren und subtrahieren. Oder von Untersuchungen mit Säuglingen, bei denen man ihnen ein Bild mit einer bestimmten Anzahl von Punkten zeigt, es verdeckt und es den Babys anschließend erneut zeigt. Bekommen sie dann deutlich mehr Punkte zu sehen, schauen sie signifikant länger hin: Die Menge auf dem Bild entspricht nicht ihren Erwartungen. Von Untersuchungen mit Affen wissen wir außerdem, dass es im Gehirn Nervenzellen gibt, die spezifisch auf Mengen reagieren. Das können wir auch bei Menschen nachvollziehen, bei denen aufgrund einer Epilepsie Elektroden ins Gehirn eingeführt wurden.
Lokalisation der Mengenverarbeitung im Gehirn
Die Nervenzellen, die für den Mengenbegriff zuständig sind, sind im Parietallappen und im präfrontalen Cortex angesiedelt. Symbole, zu denen auch Ziffern zählen, werden dagegen im Temporallappen verarbeitet. Interessanterweise tendieren wir dazu, die vier Grundrechenarten in zwei Kategorien zu unterteilen: Addition und Multiplikation sowie Subtraktion und Division. Das lässt sich auch im Gehirn nachvollziehen - etwa bei Menschen mit Gehirnverletzungen. Patienten, die infolge einer Schädigung im Parietallappen spezifische Probleme mit Division und Subtraktion haben, können trotzdem uneingeschränkt addieren und multiplizieren - und umgekehrt.
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Unterschiede zwischen quantitativem Rechnen und Gedächtnisleistung
Das eigentliche quantitative Rechnen und Verarbeiten von Mengen, findet vorwiegend beim Subtrahieren und Dividieren statt, während bei Addition und Multiplikation insbesondere das Langzeitgedächtnis gefragt ist - zumindest im Zahlenbereich bis 100. Dass 3x4 12 ergibt, wie in der Ausgangsfrage formuliert, haben wir schlicht auswendig gelernt.
Mathematisches Verständnis und seine Ursprünge
Menschen bekommen Mathematik zu einem gewissen Grad in die Wiege gelegt, denn die Ursprünge mathematischer Fähigkeiten reichen in der Evolutionsgeschichte weit zurück. „Ein grundlegendes Verständnis von Mengen ist vermutlich angeboren“, sagt der Tierphysiologe und Neurowissenschaftler Andreas Nieder von der Uni Tübingen. „Das zeigt sich daran, dass selbst Neugeborene ein Verständnis für Mengen haben.“ Auch Tiere können Mengen abschätzen, ohne nur einen Tag die Schulbank gedrückt zu haben. So findet sich schon bei wenige Tage alten Küken ein Grundverständnis für das Einschätzen von Anzahlen.
Verbindung zwischen räumlichem Denken und Zahlenverständnis
Eine Studie überprüfte, ob Primaten räumliche und zahlenmäßige Konzepte verstehen. Die zentrale Frage war, ob bei ihnen zwischen räumlichem und zahlenmäßigem Denken eine „kognitive Brücke“ besteht. Bei menschlichen Kindern gibt es diese Verbindung bereits im Alter von etwa fünf Jahren. Wer zu diesem Zeitpunkt über gute räumliche Fähigkeiten verfügt, zeigt später oft bessere mathematische Leistungen. Die Schlussfolgerung der Forscher: Schon nicht-menschliche Primaten bilden eine Transfer-Brücke von der Geometrie hin zu Zahlen - ähnlich wie Kinder. Die Fähigkeit ist offenbar angeboren.
Evolutionärer Vorteil des Mengenverständnisses
Evolutionär hat sich ein Sinn für Mengen entwickelt, weil es einen Überlebensvorteil hat, Anzahlen unterscheiden zu können. „Es erleichtert beispielsweise das Überleben, wenn Tiere viel Futter von weniger Futter unterscheiden können“, sagt Andreas Nieder, der Tübinger Neurowissenschaftler. Darüber können Tiere abschätzen, ob eine Flucht sinnvoller ist als eine Auseinandersetzung. „Wölfe etwa stimmen genau ab, mit wie vielen Artgenossen sie auf die Jagd gehen“, sagt Nieder. „Bei einem Elch reichen sechs, bei einem Bison sind es 13 Tiere.“
Neuronale Aktivität beim Hantieren mit Mengen und Zahlen
Beim Menschen und auch bei anderen Primaten ist für das Verständnis von Anzahlen der hintere Scheitellappen von Bedeutung. Hier werden vor allem Areale im sogenannten intraparietalen Sulcus aktiv, einer stark gefalteten Furche, die den oberen und den unteren Scheitellappen trennt. In diesen Arealen reagieren einzelne Neurone am stärksten auf eine bestimmte Anzahl wie etwa drei Punkte und schwächer auf Nachbar-Anzahlen wie etwa zwei Punkte. Beim Menschen sprechen Teile des intraparietalen Sulcus auch auf Zahlen an. Außerdem gibt es noch Neurone im Schläfenlappen, die auf Zahlen anspringen.
Automatisierung des Rechnens
Rechnet man im Kopf etwas aus, kommt es darauf an, ob man automatisiert rechnet oder nicht. „Ziehen wir bei Kopfrechnen-Aufgaben beispielsweise das auswendig gelernte Einmaleins heran, sind neben dem intraparietalen Sulcus auch Sprachareale der linken Hirnhälfte aktiv.“ Rechne man hingegen eine Aufgabe wie „7+5“ nicht automatisiert, sondern zerlege die Aufgabe in kleine Rechenschritte, brauche man dafür Gedächtnisleistung. Konkret wird dafür das Arbeitsgedächtnis gefordert, um die Zwischenergebnisse im Kopf zu behalten. Außerdem muss man seine Aufmerksamkeit auf die Aufgabe richten und planen. „Das sind alles Leistungen, die von Hirnarealen im vorderen Bereich des Gehirns im Frontallappen übernommen werden“, sagt Kucian.
Rechenschwäche und Hirnaktivität
Ob einem Kind das Rechnen relativ leicht von der Hand geht oder ihm die Aufgaben wie ein Buch mit sieben Siegeln erscheinen, lässt sich im Grunde auch an seinem Gehirn ablesen. „Bei normal rechnenden Kindern läuft viel automatisiert ab“, sagt Karin Kucian. Hier wird der intraparietale Sulcus stark aktiviert bei Rechenaufgaben. Auf diese Weise lassen sich die Rechenaufgaben effizient ausführen. Hingegen bei Kindern mit Rechenschwäche, einer Dyskalkulie, regt sich der intraparietale Sulcus weniger stark. „Stattdessen werden verschiedene Areale im vorderen Bereich des Gehirns stärker aktiviert, etwa Gebiete für das Arbeitsgedächtnis“, sagt die Zürcher Neurobiologin. „Bei diesen Kindern braucht es deutlich mehr neuronale Ressourcen, um eine Rechenaufgabe zu lösen.“ Daneben offenbaren sich auch Unterschiede in der Struktur des Gehirns. Betroffene mit Dyskalkulie haben weniger Hirnrinde in den Gebieten im Scheitellappen. „Zudem sind verschiedene Gebiete für Zahlenverarbeitung weniger gut vernetzt“, sagt Kucian.
Förderung mathematischer Fähigkeiten
Wenn Kinder trainieren, Mengen zu erkennen, helfe ihnen das auch beim Rechnen, sagt Andreas Nieder. Auch allgemeine Lernfähigkeiten zu fördern, könne helfen. Etwa indem man das Arbeitsgedächtnis und die Aufmerksamkeit trainiert. Wichtig sei auch, die Motivation zu fördern. „Mathematik hat ja den Ruf, abstrakt, formell und ernst zu sein“, erklärt Andreas Nieder. „Wenn man es aber beispielsweise schafft, Mathematik anhand von Spielen darzustellen, können Kinder leichter lernen.“
Verarbeitung der Null im Gehirn
Um eine leere Menge als Zahlenwert Null zu erkennen, benötigt unser Gehirn zwei Schritte und zwei Hirnareale. Um herauszufinden, wie und wo unser Gehirn die null verarbeitet, haben Neuroforscher im Jahr 2016 zunächst am Beispiel von Rhesusaffen untersucht. Sie zeichneten die Hirnaktivität der Tiere auf, während diese Punktmengen von Null bis vier erkennen und sortieren sollten. Dabei zeigte sich: Normale Zahlen lösten eine Reaktion im Scheitellappen der Affen aus, bei einer leeren Menge blieben die dortigen Neuronen stumm. Das Überraschende jedoch: Ein zweites, übergeordnetes Hirnareal reagierte sehr wohl auf die Null. Die Neuronen im präfrontalen Cortex der Rhesusaffen feuerten sowohl bei der Null als auch bei anderen Mengen. Für sie war das „Nichts“ demnach Teil der mentalen Zahlenreihe.
Neuronale Null-Detektoren
Das menschliche Gehirn besitzt demnach nicht nur eigene Neuronen für die verschiedenen normalen Zahlen, sondern auch für die Null. Daraus schließen die Forschenden, dass das Konzept der Null in unserem Gehirn keine eigene, vom restlichen Zahlenraum isolierte Einheit darstellt. Allerdings gibt es trotzdem eine Besonderheit: „Die Hirnzellen reagierten entweder auf die arabische Ziffer Null oder auf die leere Menge, nicht jedoch auf beides“, berichtet Kutter. Unsere neuronalen „Null-Detektoren“ sind demnach formatspezifisch.
Schwierigkeiten bei der Verarbeitung leerer Mengen
Die Reaktion auf die leere Menge stach heraus, weil dabei signifikant höhere Fehlerraten und längere Reaktionszeiten auftraten. Demnach fällt es unserem Gehirn leichter, die Ziffer Null zu verarbeiten als das, wofür sie steht - eine leere Menge. Nach Ansicht der Neurowissenschaftler liegt dies daran, dass die abstrakten Zahlensymbole die fundamentalen Unterschiede zwischen dem Etwas und dem Nichts verwischen.