Das Horner-Schema: Eine umfassende Erklärung

Das Horner-Schema, auch Horner-Verfahren genannt, ist eine effiziente Methode zur Berechnung von Funktionswerten und zur Bestimmung von Nullstellen von Polynomfunktionen. Es stellt eine Alternative zur klassischen Polynomdivision dar und ist besonders bei Schülern beliebt, da es übersichtlicher und kompakter ist. Im Kern handelt es sich um ein Umformungsverfahren für Polynome, das auf einer geschickten Ausklammerung basiert.

Ursprünge und Geschichte

Obwohl das Horner-Schema nach William George Horner benannt ist, der es 1819 veröffentlichte, reichen seine Wurzeln viel weiter zurück. Bereits im 11. Jahrhundert wurde ein ähnliches Verfahren in China unter dem Namen "fan fa" angewendet. Arabische Mathematiker kannten es als "as-Samawal", und in Spanien wurde es als "regla de Ruffini" bezeichnet. William George Horner wurde im Jahr 1786 in Bristol, England, geboren und starb am 22. September 1837 in Bath, England. Sein einziger Beitrag zur Mathematik besteht in der Entwicklung dieses Verfahrens zur vorteilhaften Berechnung von Funktionswerten ganzrationaler Funktionen.

Grundlagen des Horner-Schemas

Das Horner-Schema findet Anwendung bei ganzrationalen Funktionen, auch Polynomfunktionen genannt. Eine Polynomfunktion ist eine Funktion der Form:

f(x) = an x^n + a{n-1} x^{n-1} + … + a1 x + a0

Dabei sind an, a{n-1}, …, a1, a0 die Koeffizienten des Polynoms und n der Grad des Polynoms. Der Grad gibt die höchste Potenz von x an.

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Das Ziel des Horner-Schemas ist es, den Grad der Funktion schrittweise zu verringern. Dies geschieht durch Division der Funktion durch einen Ausdruck der Form (x - x0), wobei x0 eine Nullstelle der Funktion ist. Durch diese Division erhält man eine neue Polynomfunktion mit einem um eins niedrigeren Grad sowie gegebenenfalls eine Restfunktion.

Anwendung des Horner-Schemas zur Nullstellenberechnung

Das Horner-Schema ist besonders nützlich zur Bestimmung von Nullstellen von Polynomfunktionen. Eine Nullstelle ist ein Wert x0, für den gilt f(x0) = 0.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Die allgemeine Vorgehensweise zur Nullstellenberechnung mit dem Horner-Schema lässt sich in folgende Schritte unterteilen:

1. Tabelle erstellen: Zunächst wird eine Tabelle mit den Koeffizienten der Funktion f(x) in absteigender Reihenfolge erstellt. Falls in der Funktion gewisse Potenzen fehlen, müssen die entsprechenden Koeffizienten als Null eingesetzt werden. Durch Ausprobieren oder andere Verfahren wird eine Nullstelle x_0 ermittelt und in die erste Spalte der zweiten Zeile geschrieben. Die Tabelle hat immer drei Zeilen. Die Anzahl der Spalten erhältst du, indem du den Grad des Polynoms nimmst und 2 addierst.
2. Ersten Koeffizienten übertragen: Der erste Koeffizient a_n wird in die dritte Zeile übertragen.
3. Multiplikation und Addition: Der übertragene Koeffizient wird mit der Nullstelle x_0 multipliziert, und das Ergebnis wird in die nächste Spalte der zweiten Zeile übertragen. Anschließend wird dieser Wert mit dem darüber stehenden Koeffizienten addiert, und das Ergebnis wird in die dritte Zeile übertragen.
4. Wiederholung: Schritt 3 wird für alle weiteren Koeffizienten wiederholt, bis die Tabelle vollständig gefüllt ist.
5. Ergebnis ablesen: In der letzten Zeile der Tabelle stehen die Koeffizienten der reduzierten Polynomfunktion. Das letzte Element in der letzten Zeile stellt den Rest der Division dar. Ist der Rest Null, so ist x_0 tatsächlich eine Nullstelle der Funktion.
6. Reduzierte Funktion verwenden: Die reduzierte Polynomfunktion kann nun verwendet werden, um beispielsweise mit der Mitternachtsformel oder der p-q-Formel die restlichen Nullstellen zu bestimmen.

Merke: Nach unten addieren und nach schräg oben multiplizieren.

Beispiel

Betrachten wir die Funktion f(x) = x³ + 2x² - 5x - 6. Eine Nullstelle dieser Funktion ist x_1 = -1. Wir wollen das Horner-Schema anwenden, um den Grad der Funktion zu reduzieren und die restlichen Nullstellen zu finden.

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1. Tabelle erstellen:

| | 1 | 2 | -5 | -6 ||---|---|---|----|----|| -1| | | | || | | | | |

2. Ersten Koeffizienten übertragen:

| | 1 | 2 | -5 | -6 ||---|---|---|----|----|| -1| | | | || | 1 | | | |

3. Multiplikation und Addition:

| | 1 | 2 | -5 | -6 ||---|---|----|----|----|| -1| | -1 | | || | 1 | 1 | | |

| | 1 | 2 | -5 | -6 ||---|---|----|-----|----|| -1| | -1 | -1 | || | 1 | 1 | -6 | |

| | 1 | 2 | -5 | -6 ||---|---|----|-----|----|| -1| | -1 | -1 | 6 || | 1 | 1 | -6 | 0 |

4. Ergebnis ablesen: Die reduzierte Funktion ist x² + x - 6.

5. Restliche Nullstellen bestimmen: Mit der Mitternachtsformel oder der p-q-Formel erhalten wir die Nullstellen x2 = 2 und x3 = -3.

Somit hat die Funktion f(x) die Nullstellen x1 = -1, x2 = 2 und x_3 = -3.

Anwendung des Horner-Schemas zur Berechnung von Funktionswerten

Das Horner-Schema kann auch zur Berechnung von Funktionswerten verwendet werden. Die Vorgehensweise ist dabei ähnlich wie bei der Nullstellenberechnung.

Beispiel

Wir wollen den Funktionswert von f(x) = x³ + 2x² - 5x - 6 an der Stelle x = 3 berechnen.

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1. Tabelle erstellen:

| | 1 | 2 | -5 | -6 ||---|---|---|----|----|| 3 | | | | || | | | | |

2. Ersten Koeffizienten übertragen:

| | 1 | 2 | -5 | -6 ||---|---|---|----|----|| 3 | | | | || | 1 | | | |

3. Multiplikation und Addition:

| | 1 | 2 | -5 | -6 ||---|---|---|----|----|| 3 | | 3 | | || | 1 | 5 | | |

| | 1 | 2 | -5 | -6 ||---|---|---|----|----|| 3 | | 3 | 15 | || | 1 | 5 | 10 | |

| | 1 | 2 | -5 | -6 ||---|---|---|----|----|| 3 | | 3 | 15 | 30 || | 1 | 5 | 10 | 24 |

Der Funktionswert an der Stelle x = 3 ist f(3) = 24.

Horner-Schema für Polynome höheren Grades

Das Horner-Schema lässt sich auch auf Polynome höheren Grades anwenden. Bei Funktionen 4. Grades oder höher muss das Horner-Schema möglicherweise mehrmals angewendet werden, um den Grad des Polynoms so weit zu reduzieren, dass die restlichen Nullstellen mit anderen Methoden (z.B. Mitternachtsformel) bestimmt werden können.

Beispiel

Betrachten wir die Funktion f(x) = x⁴ - 5x³ + 5x² + 5x - 6.

1. Erste Nullstelle finden: Durch Ausprobieren finden wir die Nullstelle x_1 = 2.
2. Horner-Schema anwenden:

| | 1 | -5 | 5 | 5 | -6 ||---|---|----|---|---|----|| 2 | | 2 | | | || | 1 | -3 | | | |

| | 1 | -5 | 5 | 5 | -6 ||---|---|----|----|---|----|| 2 | | 2 | -6 | | || | 1 | -3 | -1 | | |

| | 1 | -5 | 5 | 5 | -6 ||---|---|----|----|----|----|| 2 | | 2 | -6 | -2 | || | 1 | -3 | -1 | 3 | |

| | 1 | -5 | 5 | 5 | -6 ||---|---|----|----|----|----|| 2 | | 2 | -6 | -2 | 6 || | 1 | -3 | -1 | 3 | 0 |

Die reduzierte Funktion ist x³ - 3x² - x + 3.

3. Zweite Nullstelle finden: Durch Ausprobieren finden wir die Nullstelle x_2 = 1.
4. Horner-Schema erneut anwenden:

| | 1 | -3 | -1 | 3 ||---|---|----|----|---|| 1 | | 1 | | || | 1 | -2 | | |

| | 1 | -3 | -1 | 3 ||---|---|----|----|---|| 1 | | 1 | -2 | || | 1 | -2 | -3 | |

| | 1 | -3 | -1 | 3 ||---|---|----|----|---|| 1 | | 1 | -2 | -3|| | 1 | -2 | -3 | 0 |

Die reduzierte Funktion ist x² - 2x - 3.

5. Restliche Nullstellen bestimmen: Mit der Mitternachtsformel oder der p-q-Formel erhalten wir die Nullstellen x3 = 3 und x4 = -1.

Somit hat die Funktion f(x) die Nullstellen x1 = 2, x2 = 1, x3 = 3 und x4 = -1.

Vorteile und Nachteile des Horner-Schemas

Vorteile:

• Effizienz: Das Horner-Schema ist in der Regel schneller und übersichtlicher als die Polynomdivision.
• Einfache Anwendung: Es erfordert lediglich Addition und Multiplikation.
• Vielseitigkeit: Es kann sowohl zur Nullstellenberechnung als auch zur Funktionswertberechnung verwendet werden.

Nachteile:

• Linearfaktor erforderlich: Das Horner-Schema funktioniert nur, wenn durch einen Linearfaktor der Form (x ± c) dividiert wird.
• Erste Nullstelle erforderlich: Zur Anwendung des Horner-Schemas muss zunächst eine Nullstelle bekannt sein.
• Nicht für alle Funktionen geeignet: Bei bestimmten Funktionstypen, wie z.B. solchen mit wiederkehrenden Mustern, sind andere Verfahren möglicherweise effizienter.

Wann ist das Horner-Schema anwendbar?

Das Horner-Schema ist immer dann anwendbar, wenn ein Polynom durch einen Term der Form (x ± Zahl) geteilt wird. Es ist besonders nützlich bei der Bestimmung von Nullstellen und bei Kurvendiskussionen.

Alternativen zum Horner-Schema

Die bekannteste Alternative zum Horner-Schema ist die Polynomdivision. Diese ist jedoch oft aufwendiger und fehleranfälliger. Für bestimmte Funktionstypen gibt es auch spezialisierte Verfahren wie die Substitution.

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